Etter endt utdanning begynte Grøstad å jobbe som politifullmektig ved Telemark politikammer. Hun har senere vært konstituert byrettsdommer ved Skien og Porsgrunn byrett og statsadvokat ved Vestfold og Telemark statsadvokatembeter. Fra 2010 til 2013 var Grøstad sambandsstatsadvokat ved Eurojust i Haag. Grøstads særområde er internasjonalt strafferettslig samarbeid. Hun har jobbet ved Riksadvokatembetet siden 2000 og har ansvar for å følge med på utviklingen av feltet nasjonalt og internasjonalt.
Grøstad er medlem av Utleverings- og arrestordreutvalget, som innen 1. juli 2022 skal foreslå nytt regelverk for utlevering og arrestordre.
Bøker av Anne Grøstad:
Ruud, Morten, Anne Grøstad og Liv Christina Houck Egseth, Utleveringsloven og arrestordreloven, lovkommentar, Universitetsforlaget 2020 .
Grøstad, Anne, Internasjonalt strafferettslig samarbeid, Cappelen Damm Akademisk forlag 2020.
